共通テスト（理科） 過去問
令和5年度（2023年度）追・再試験
問69 (物理（第2問） 問2)

解答　ウ：大きくなりました  エ：狭くなりました

解説

相互誘導の問題です。

1次コイル(下側のコイル)に流れる電流を

I=I₀sinωt　(I₀は定数)

とします。1次コイルが作る磁場および

2次コイル(上側のコイル)を貫く磁束Φも

これと同じ周波数で変化するので、

Φ=Φ₀sinωt　(Φ₀は定数)

となります。

誘導起電力の公式は

V=−NΔΦ/Δt

で、ここでは

ΔΦ/Δt

={Φ₀sinω(t+Δt) − Φ₀sinωt}/Δt

です。この式について計算を進めると

「Δt→0」で「ΔΦ/Δt → ωΦ₀cosωt」

となります(補足参照)。

交流電源の周波数を高くするとωが大きくなり、

ΔΦ/Δtの振幅、ひいてはVの振幅が大きくなります。

このように計算しなくても、

「周波数を高くする→時間変動が激しくなる→ΔΦ/Δtの振幅増加」

と定性的に考えて導けるとよりよいでしょう。

なお、周波数fを上昇させたため、f=1/Tから考えて

波形の山から山の間隔(周期Tに相当)は狭くなります。

よって答えは　ウ：大きくなりました  エ：狭くなりました　となります。

【補足】

加法定理や半角の公式を用いて、

ΔΦ/Δt

={Φ₀sinω(t+Δt) − Φ₀sinωt}/Δt

=Φ₀(sinωt・cosωΔt + cosωt・sinωΔt − sinωt)/Δt

=Φ₀{−sinωt・(1 − cosωΔt) + cosωt・sinωΔt}/Δt

=Φ₀{−sinωt・2sin²(ωΔt/2) + cosωt・sinωΔt}/Δt

=ωΦ₀[−sinωt・(sinωΔt/2)・(sinωΔt/2)/(ωΔt/2) + cosωt・(sinωΔt)/(ωΔt)]

であり、

・Δt→0で下線部は1に近づく(数学Ⅲの公式)

・Δt→0で(sinωΔt/2)→0

より、

ΔΦ/Δt

→ωΦ₀[−sinωt・0・1 + cosωt・1]

=ωΦ₀cosωt

となります。

これはΦ₀sinωtの微分がωΦ₀cosωtになることを

導出したことになります。

誘導電流の問題です。