大学入学共通テスト（理科） 過去問
令和6年度（2024年度）追・再試験
問84 (物理（第3問） 問4)

音の速さと温度の関係について、後の問いに答えよ。

AさんとBさんが先生を交えて空気中を伝わる音の速さについて議論している。

Aさん：空気中を伝わる音の速さは、気温が1℃上がると0.6m／sだけ大きくなると習ったけど、どうして音の速さは温度によって変化するんだろう？
Bさん：音の波を伝える媒質は空気だから、理想気体の状態方程式から考えてみよう。

先生：物理量の間の関係を見つけたいときは、物理量の単位に着目するとよいでしょう。長さの単位m，質量の単位kg，時間の単位sを組み合わせて、理想気体の状態方程式に現れる物理量と音の速さの単位を比較してみましょう。
Aさん：音は疎密波として空気中を伝わるからその速さは気体の圧力pと関係があるのかな。圧力pは単位面積あたりの力の大きさで表されるから、圧力の単位Paはkg／（m・s²）となります。
先生：圧力pの単位にはkgが入っていますが、音の速さの単位には入っていませんね。音の速さを状態方程式に現れる物理量を用いて表すには、単位にkgを含む他の物理量も必要です。
Bさん：それでは、気体の単位体積あたりの質量である密度ρを組み合わせてみよう。

Aさん：いま求めた量と状態方程式を使えば音の速さと温度の関係式が得られそうです。
先生：素晴らしい。その式に温度などによらない係数として単位をもたない定数Cをかけて、1モルあたりの質量Mを使って書き換えると、
v＝C√（RT／M）・・・（1）
となりますね。ここで、Rは気体定数、Tは絶対温度です。

次の会話文中の空欄（　　　）に入れる式として最も適当なものを、選択肢のうちから一つ選べ。

先生：式（1）において定数Cがわからなかったとしても、ある絶対温度T₀での音の速さv₀がわかれば、絶対温度Tでの音の速さは、
v＝v₀√（T／T₀）
と表すことができます。
Bさん：Tは絶対温度だから、セ氏温度（セルシウス温度）で表したときの数値tを使った式にするためには、Tをtで書き換える必要があるね。
Aさん：教科書に載っている0℃（273K）での音の速さv₀を基準にしましょう。平方根が残りますがどうすればいいですか。
先生：｜x｜が1より十分に小さいときの近似式√（1＋x）≒1＋（1／2）xが使えます。
Bさん：その近似式を使えば、音の速さの温度変化を表す式
v≒（　　　）
が得られるね。
Aさん：v₀の値を代入したら、気温が1℃上がると音の速さが約0.6m／sだけ大きくなる関係式が得られました。