大学入学共通テスト（理科）過去問
令和5年度（2023年度）本試験
問88 (物理（第3問）問3)

問題文

次の文章を読み、後の問いに答えよ。

全方向に等しく音を出す小球状の音源が、図1のように、点Oを中心として半径r、速さvで時計回りに等速円運動をしている。音源は一定の振動数f₀の音を出しており、音源の円軌道を含む平面上で静止している観測者が、届いた音波の振動数fを測定する。
音源と観測者の位置をそれぞれ点P、Qとする。点Qから円に引いた2本の接線の接点のうち、音源が観測者に近づきながら通過する方を点A、遠ざかりながら通過する方を点Bとする。また、直線OQが円と交わる2点のうち観測者に近い方を点C、遠い方を点Dとする。vは音速Vより小さく、風は吹いていない。

音源が点A、点Bを通過したときに出した音を観測者が測定したところ、振動数はそれぞれf_A、f_Bであった。f_Aと音源の速さvを表す式の組合せとして正しいものを、次の選択肢のうちから一つ選べ。問題文の画像

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問題

大学入学共通テスト（理科）試験令和5年度（2023年度）本試験問88（物理（第3問）問3）（訂正依頼・報告はこちら）

f_A：f₀　　v：（f_B／f_A）V
f_A：f₀　　v：｛（f_A−f_B）／（f_A＋f_B）｝V
f_A：｛（V＋v）／V｝f₀　　v：（f_B／f_A）V
f_A：｛（V＋v）／V｝f₀　　v：｛（f_A−f_B）／（f_A＋f_B）｝V
f_A：｛V／（V−v）｝f₀　　v：（f_B／f_A）V
f_A：｛V／（V−v）｝f₀　　v：｛（f_A−f_B）／（f_A＋f_B）｝V

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この過去問の解説（1件）

解答　f_A：｛V／（V−v）｝f₀　　v：｛（f_A−f_B）／（f_A＋f_B）｝V

解説

まずドップラー効果の公式より

f_A=｛V／（V−v）｝f₀　…①

となり、同様に考えて、

f_B=｛V／（V+v）｝f₀　…②

となります。

これら２式からf₀を消去して、vについて整理します。

例えば以下のように計算します。

①を変形して　（V−v）f_A=Vf₀

②を変形して　（V+v）f_B=Vf₀

よって　　（V+v）f_B=（V-v）f_A

となります。これをvについて整理して、

Vf_B+vf_B=Vf_A-vf_A

vf_A+vf_B= Vf_A-Vf_B

(f_A+f_B)v =(f_A-f_B)V

v=｛（f_A−f_B）／（f_A＋f_B）｝V

よって答えは

f_A：｛V／（V−v）｝f₀　　v：｛（f_A−f_B）／（f_A＋f_B）｝V

となります。

選択肢6. f_A：｛V／（V−v）｝f₀　　v：｛（f_A−f_B）／（f_A＋f_B）｝V

この選択肢が正解となります。

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