共通テスト（理科） 過去問
令和6年度（2024年度）追・再試験
問7 (物理基礎（第2問） 問3)

この問題でおさえておきたいポイントは、「摩擦力の大きさ」についてです。摩擦力には、動いている物体にはたらく動摩擦力と、静止している物体にはたらく静止摩擦力があります。どちらも摩擦力ということで、運動を妨げる向き(運動しそうな方向と逆方向)にはたらくという点は一致しています。しかしその大きさの求め方は異なります。

まずは静止摩擦力についてです。静止摩擦力の大きさの求め方は、「力のつりあい」の利用です。物体が静止している場合、その物体にはたらく力の合力は常に０となります。これが成り立つように静止摩擦力を定めましょう。また、物体を押す力が徐々に大きくなるとあるタイミングで物体が滑り出します。このギリギリ動かない瞬間の静止摩擦力のことを特に最大静止摩擦力といいます。これは、静止摩擦係数×垂直抗力で求めることができます。

次に動摩擦力についてもセットでおさえておきましょう。動摩擦力の大きさは常に一定で、動摩擦係数×垂直抗力で求まります。

以上のことをまとめると、最大静止摩擦力および動摩擦の場合は各摩擦係数×垂直抗力、それ以外では力のつりあいで摩擦力を求めることができます。

それでは今回の問題を見てみましょう。本問題では板の上に物体を置き、板に徐々に傾斜を付けていきます。板と水平面のなす角θがθ_cを超えたとき、物体は板の上を滑り始めます。すなわち、θ_cのとき物体はギリギリ動いておらず、最大静止摩擦力がはたらいています。

角度がθ_ｃのとき物体にはたらく力は上図のようになっています。このとき重力は斜面水平方向および斜面垂直方向に分解し、Nは垂直抗力、Fは摩擦力とします。物体は静止しているため力のつりあいを適用できます。したがって次の２式が導かれます。

F=mgsinθ_c …①

N=mgcosθ_c …②

また角度がθ_cのとき、Fは最大静止摩擦力となっているから静止摩擦係数をμとすると②より次の式が導かれます。

F=μN=μmgcosθ_c …③

①、③より

mgsinθ_c=μmgcosθ_cとなり、

μ=sinθ_c/cosθ_c=tanθ_cと変形できます。

以上より、μ=tanθであることが分かります。

解答　tanθ_c

解説

まずは静止摩擦係数をμとおきましょう。

物体の質量をm、重力加速度の大きさをgとします。

物体が斜面から受ける垂直抗力の大きさをNとおきます。

力の釣り合いを考えます。

斜面に平行な成分: mgsinθ_c = μN

斜面に垂直な成分: mgcosθ_c = N

これら2式より、

μ = sinθ_c/cosθ_c = tanθ_c

となります。

よって答えは　tanθ_c　となります。