大学入学共通テスト（理科） 過去問
令和6年度（2024年度）本試験
問74 (物理（第2問） 問5)

ペットボトルロケットに関する探究の過程についての次の文章を読み、後の問いに答えよ。

図1は、ペットボトルロケットの模式図である。ペットボトルの飲み口には栓のついた細い管（ノズル）が取り付けられていて、内部には水と圧縮空気がとじこめられている。ノズルの栓を開くとその先端から下向きに水が噴出する。ペットボトルとノズルはそれぞれ断面積S₀、sの円筒形とする。考えやすくするために、以下の計算では、水の運動による摩擦（粘性）、空気抵抗、大気圧、重力の影響は無視する。

図1のように、ペットボトルがストッパーで固定されている場合を考える。

栓を開けた後、図2（a）のような状態にあったところ、時刻t＝0からt＝△tまでの間に質量△m、体積△Vの水が噴出し、図2（b）のような状態になった。このとき、△tは小さいので、t＝0からt＝△tまでの間、圧縮空気の圧力pや、噴出した水の速さuは一定とみなせるものとする。また、ペットボトルやノズルの中にあるときの水の運動エネルギーは考えなくてよい。水の密度をρ₀とする。なお、以下の図で、t＜0で噴出した水は省略されている。

今度は、ペットボトルロケットが静止した状態から飛び出す状況を考える。時刻t＜0では、図2（a）と同じ状態であり、t＝0にストッパーを外して動けるようになったとする（図3（a））。t＝△tでは、水を噴出したロケットは上向きに動いている（図3（b））。t＝0での、ペットボトルと内部の水やノズルを含むロケット全体の質量をM、速さを0とする。また、t＝△tでの、ロケット全体の質量をM′、速さを△v、△tの間に噴出した水の速さをu′とする。△tが小さいときには、△mと△vも小さいので、M′をMに、u′をuに等しいとみなせるものとする。ペットボトル内部の水の流れの影響は考えなくてよいものとする。

時刻t＝△tでのロケットの運動量と噴出した水の運動量の和は、t＝0でのロケットの運動量に等しいと考えられる。その関係を表す式として最も適当なものを、次の選択肢のうちから一つ選べ。