共通テスト（理科） 過去問
令和4年度（2022年度）本試験
問68 (物理（第1問） 問3)

力のモーメント＝力の大きさ×腕の長さ

を利用します。力のモーメントとは、大きさがある物体の回転の能力です。

点Cのまわりの力のモーメントを考えます。

点Ｃのまわりでは、質量Mの円板による力のモーメントと、質量ｍの物体による力のモーメントがつり合って静止しています。

質量Mの円板と質量ｍの物体の、直線OQに対して垂直な力の成分をとると、それぞれMgcos(∠CPO)、mgcos(∠CPO)となるので、点Cからの腕の長さを掛けて、点Cのまわりの力のモーメントのつり合いは

Mgcos(∠CPO)・x=mgcos(∠CPO)・(d-x)

と表すことができます。

これを解いて

Mx=m(d-x)

Mx=md-mx

Mx+mx=md

(M+m)x=md

x=md/(M+m)={m/(M+m)}d　となります。

よって答えは　{m/(M+m)}d　です。

点線PCが糸の直線状にあることから、Cが重心であることが分かります。
つまり、次の式が成り立ちます。
x:d-x=m:M
それぞれの内積、外積を計算すると、
m(d-x)=Mx
md-mx=Mx
(m+M)x=md
∴x=md(m+M) となります。

解答　{m/(M+m)}d

解説

点Pにかかる糸の張力によるモーメントは

Cのまわりを考えると０になることを活用します。

解法1(機械的に計算する方法)

Cのまわりの力のモーメントの釣り合いより(反時計回りを正)、

0 = Mgcos(∠OPC)・x - mgcos(∠OPC)・(d-x)

0 = Mx - m(d-x)

Mx = m(d-x)

Mx = md-mx

(M+m)x = d

x = {m/(M+m)}d

よって答えは　{m/(M+m)}d　となります。

解法2(推奨: 慣れると楽な方法)

点Cのまわりの力のモーメントの釣り合いに関して比で考える。

腕の長さの比は力の逆比になるので、

OC:CQ = (Qにかかる力のOPに平行な成分):(Oにかかる力のOPに平行な成分)

OC:CQ = (Qにかかる力):(Oにかかる力)

x:(d-x) = mg:Mg

x:(d-x) = m:M　　←慣れたらいきなりこの式を書ける

Mx = m(d-x)

これをxについて解いて答えは　{m/(M+m)}d　となります。

解法3(重心の定義を使う解法)

点Oに質量M, 点Qに質量mの物体があって、

その重心がCになっていると考えることができます。

重心の定義式より

x = (M×0 + m×d)/(M+m)

式を整理して答えは　{m/(M+m)}d　となります。