共通テスト（理科） 過去問
令和4年度（2022年度）本試験
問86 (物理（第4問） 問1)

各速度とは、単位時間当たりに進む角度を表します。
また、１(rad)は半径rの円の円周をrだけ進んだときの角度であるので、円周を一周すなわち2πr進んだときの角度は2π(rad)と表すことができます。

このことより、角速度ωで半径rの円を一周するのにかかる時間を考えると2π/ω(t)と表すことができ、
いっぽう速度vで半径rの円を一周するのにかかる時間を考えると2πr/v(t)と表せるので、
2π/ω＝2πr/v　とわかります。
これをωについて解くと
2π/ω＝2πr/v
ω/2π＝v/2πr
ω＝v/r　となるので、アの答えは　v/r　です。

また、図(b)を半径vの円の一部として考えると、図bの弦の長さが2つのベクトル(v2→)(v1→)の差となります。
弦の長さは弧の長さと等しいとして良い、と条件にあるので、この円の弧の長さを求めれば良いです。
弧の長さは、半径×角度(rad）で表すことができ、t→⊿tの間に進んだ角度はω⊿tなので、
図(b)の弧の長さはv×ω⊿t＝vω⊿tです。
アよりω=v/rなので、これをvω⊿tに代入して、イの答えは　(v²/r)⊿t　となります。

速度vで円周2πr²を進むのにかかる時間2πr²/vと、角速度ωで角度2πrを進むのにかかる時間2πr/ωは等しくなります。
つまりアに当てはまるのはω=v/rとなります。

弧の長さlは半径をr、角度をθとすると、
l=rθと表すことができます。

今回、半径はv、角度はωΔtとなるので、
イに当てはまるのはvωΔt=v×v/rΔt=(v²/r)Δtとなります。

解答　ア：v／r　　イ：（v²／r）Δt

解説

速さv、半径rの等速円運動の角速度ωを求めます。

例えば、

(１周の角度2πを角速度ωで回る所要時間)

=(１周の長さ2πrを速さvで回る所要時間)

と考えて、

2π/ω = 2πr/v

両辺を2πで割って逆数を考えると

ω = v/r　…①　　←アの答え

となります。この①については公式として覚えておくべきです。

いま等速円運動を考えているので、

与えられた図中のv₁,v₂の大きさについて

v=|v₁→|=|v₂→|　　(表記注: 「→」はベクトルの意味)

です。

2つのベクトル(v₂→)と(v₁→)の差の大きさを

問題文に従って近似して計算します。

|(v₂→)-(v₁→)|

≒|(半径vで中心角ωΔtの扇形の孤の長さ)|

=vωΔt

=(v²/r)Δt　(①を代入)

よって答えは　ア：v／r　　イ：（v²／r）Δt　となります。

なお、イの答えをΔtで割ると加速度の大きさ　a=v²/r　を得ます。