共通テスト（理科） 過去問
令和4年度（2022年度）本試験
問87 (物理（第4問） 問2)

万有引力の大きさは、２物体の質量の積に比例し、距離の2乗に反比例します。

よって万有引力の大きさをF₁とすると、G(万有引力定数)を利用して

F₁=Ｇ(Mm/r²)　と表せます。

また、クーロンの法則より、2つの点電荷どうしにはたらく静電気力の大きさは、距離の2乗に反比例し、電気量の積に比例します。

よって静電気力の大きさをF₂とすると、k₀(クーロンの比例定数)を利用して

F₂=k₀(|e²|/r²)　と表せます。

この問題ではF₁がF₂のおよそ何倍であるかを問われているので、

F₁÷F₂を計算して

F₁÷F₂＝Ｇ(Mm/r²)÷k₀(|e²|/r²)＝GMm/k₀e²

ここに与えられた数値を代入して

(6.7×10^-11)(1.7×10^-27)(9.1×10^-31) / (9.0×10⁹)(1.6×10^-19)²

ここではおよそ何倍か(10の何乗倍か)がわかればいいので、10の累乗以外の数は無視して考えてみます。

すると

(10^-11×10^-27×10^-31) / {10⁹×(10^-19)²}

=10^-11×10^-27×10^-31×10^-9×10³⁸

=10^-40

となります。

よって答えは　10^-40 倍　です。

万有引力と静電気力の公式を覚えていればそれに当てはめて概算すればいい問題ですが、この設問内の情報だけでも解答することができます。

単位に注目してみましょう。

万有引力定数Gの単位はN・m²／kg²なので、質量(kg)を2回かけて、距離(m)の2乗で割ればいいです。

また、静電気力(クーロンの法則の真空中での比例定数)の単位は9.0✕10⁹N・m²／C²なので、電気素量(C)の2乗をかけて、2乗で割ればいいです。

今回はこれらの比がだいたいどれくらいかを求められているのでひたすら計算していくとおよそ10^－40となります。

解答　10^－40

解説

水素原子中の電子と陽子の間に働く万有引力と

静電気力の大きさを比較する問題です。

陽子と電子の電気量の絶対値は

ともに電気素量eであることに注意して計算します。

(万有引力の大きさ)÷(静電気力の大きさ)

=(GmM/r²)÷(k₀e²/r²)

=(GmM)÷(k₀e²)

={6.7✕10^－11・9.1✕10^－31・1.7✕10^－27}

　÷{9.0✕10⁹・(1.6✕10^－19)²}

=(9.1・1.7・6.7✕10^－69)÷(9.0・1.6・1.6✕10^－29)

={(9.1・1.7・6.7)/(9.0・1.6・1.6)}✕10^－40

これ以降は大雑把な計算でよく、例えば

　・9.1と9.0が近い値なので約分

　・1.7と1.6が近い値なので約分

　・6.7はだいたい1.6の4倍

とみなして

≒4✕10^－40(そのまま計算すると4.5×10^-40)

よって答えは　10^－40　となります。