大学入学共通テスト（理科） 過去問
令和4年度（2022年度）本試験
問88 (物理（第4問） 問3)

解答　me⁴/(n²h²)

解説

直前の問題より重力は無視して考えます。

この問題は文字が多いですが、

そのうち未知量はv, r, Eの3つです。

よって式が3つ必要になり、それは以下の3式です。

①ボーアの量子条件

mvr = nh/(2π)　変形して　v=nh/(2πmr)　…①

②電子の運動方程式

m(v²/r)=k₀(e²/r²)　変形して　mv²=k₀(e²/r)　…②

③電子のエネルギー

E = (1/2)mv² - k₀(e²/r)　…③

v, r, EのうちEを求めたいので、vとrを消すことを考えます。

先にvを消し、後でrを消しましょう。

(手順1)まず①と②を合わせてvを消します。

この結果は問題文で与えられており、

r = (n²h²)/(4π²k₀me²)　…④

となります(実際に①を②に代入して確かめてみましょう)。

(手順2)次に②と③を合わせてvを消します。

②を③に代入して

E = -(1/2)k₀(e²/r)　…⑤

(手順3)最後に④と⑤を合わせてrを消します。

④より

1/r = (4π²k₀me²)/(n²h²)

であるから、

E = -(1/2)k₀e²×(4π²k₀me²)/(n²h²)

= -2π²k₀²×{(me⁴)/(n²h²)}

最後にEがnに依存することを明示して(EをE_nに書き換えて)

E_n = -2π²k₀²×{(me⁴)/(n²h²)}

となります。

よって答えは　me⁴/(n²h²)　となります。